Question

已知向量，，函數(shù)f（x）＝，且y＝f（x）的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)．

（1）求m，n的值；

（2）將y＝f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個(gè)單位后得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，若y＝g（x）圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)（0，3）的距離的最小值為1，求y＝g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

 

Answer 1

（1）m＝，n＝1；（2）[kπ－,kπ]，k∈Z.

【解析】試題分析：（1）利用數(shù)量積列出等式，利用圖象經(jīng)過已知兩點(diǎn)，可解出m，n的值；（2）設(shè)出平移后的最高點(diǎn)，利用最高點(diǎn)到點(diǎn)（0，3）的距離的最小值為1，求出最高點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解得平移量，求出單調(diào)區(qū)間.

試題解析：（1）由題意知，f（x）＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.

因?yàn)閥＝f（x）的圖像過點(diǎn)（）和點(diǎn)（,－2），

所以

即

解得m＝，n＝1.

（2）由（1）知f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝2sin（2x＋）

由題意知，g（x）＝f（x＋φ）＝2sin（2x＋2Φ＋）

設(shè)y＝g（x）的圖像上符合題意的最高點(diǎn)為（x0，2）．

由題意知，x02＋1＝1，所以x0＝0，

即到點(diǎn)（0，3）的距離為1的最高點(diǎn)為（0，2）．

將其代入y＝g（x）得，sin（2Φ＋）＝1.

因?yàn)?<φ<π，所以φ＝.

因此，g（x）＝2sin（2x＋）＝2cos 2x.

由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，

所以函數(shù)y＝g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－,kπ]，k∈Z.

 

考點(diǎn)：平面向量，三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)的圖象