橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的點(diǎn)，若使∠F1PF2=90°的P點(diǎn)有四個(gè)不同的位置，則離心率e的范圍
(
2
2
，1)
(
2
2
，1)
．
分析：由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F1PF2最大，欲使∠F1PF2=90°的P點(diǎn)有四個(gè)不同的位置，必須∠F1PF2＞90°，此時(shí) cos∠F1PF2=
a2+a2-4c2
2a2
=
a2-2c2
a2
＜0，∴a＜
2
c，由此能夠推導(dǎo)出該橢圓的離心率的取值范圍．
解答：解：由題意可知，當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F1PF2最大，
由條件：使∠F1PF2=90°的P點(diǎn)有四個(gè)不同的位置，必須∠F1PF2＞90°，
故 cos∠F1PF2=
a2+a2-4c2
2a2
=
a2-2c2
a2
＜0，⇒a＜
2
c，
∴e=
c
a
＞
2
2
，
又∵0＜e＜1，∴1＞e＞
2
2
．
故答案為：(
2
2
，1)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，正確解題的關(guān)鍵是知道當(dāng)點(diǎn)P位于（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F1PF2最大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF1的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點(diǎn)M在橢圓上；
（3）若點(diǎn)P、Q為橢圓 上的兩點(diǎn)，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請(qǐng)加以證明；若不能平分，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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