設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的兩點,O為坐標原點,向量
m
=(
x1
a
,
y1
b
),
n
=(
x2
a
,
y2
b
)
m
n
=0

(1)若A點坐標為(a,0),求點B的坐標;
(2)設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
,證明點M在橢圓上;
(3)若點P、Q為橢圓 上的兩點,且
PQ
OB
,試問:線段PQ能否被直線OA平分?若能平分,請加以證明;若不能平分,請說明理由.
分析:(1)將x1=a,y1=0代入(
x1
a
,
y1
b 
)•(
x2
a
,
y2
b 
)=0,得(1,0)•(
x2
a
,
y2
b 
)=0,由此能求出點B的坐標.
(2)因(
x1
a
,
y1
b 
)•(
x2
a
y2
b 
)=0,所以
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0
,又因A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上,所以
x12
a2
+
y12
b2
=1
,
x22
a2
+
y22
b2
=1
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
=(x1cosθ+x2sinθ,y1cosθ+y2sinθ),由此能夠證明所以點M在橢圓上.
(3)設(shè)點P(m1,n1)Q(m2,n2),則
PQ
=(m2-m1,n2-n1)
,且
m
2
1
a2
+
n
2
1
b2
=1
,
m
2
2
a2
+
n
2
2
b2
=1
,所以
(m1-m2)(m1+m2)
a2
+
(n1-n2)(n1+n2)
b2
=0
,故
PQ
⊥(
m1+m2
a2
,
n1+n2
b2
)
,由此能夠?qū)С鼍段PQ被直線OA平分.
解答:解:(1)將x1=a,y1=0代入(
x1
a
,
y1
b 
)•(
x2
a
y2
b 
)=0,得(1,0)•(
x2
a
,
y2
b 
)=0,
所以x2=0,y2=±b,即點B的坐標為(0,±b).
(2)因(
x1
a
,
y1
b 
)•(
x2
a
,
y2
b 
)=0,所以
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0
,
又因A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上,所以
x12
a2
+
y12
b2
=1
,
x22
a2
+
y22
b2
=1
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
=(x1cosθ+x2sinθ,y1cosθ+y2sinθ)
把M點坐標代入橢圓方程左邊得:
(x1cosθ+x2sinθ)2
a2
+
(y1cosθ+sinθ)2
b2
=
x12cos2θ+x22sin2θ
a2
+
y12cos2θ+y22sin2θ
b2
+2sinθcosθ(
x1x2
a2
+
y2y2
b2
)
=cos2θ+sin2θ+2sinθcosθ×0=1所以點M在橢圓上.
(3)設(shè)點P(m1,n1)Q(m2,n2),則
PQ
=(m2-m1n2-n1)

m
2
1
a2
+
n
2
1
b2
=1
,
m
2
2
a2
+
n
2
2
b2
=1

所以
(m1-m2)(m1+m2)
a2
+
(n1-n2)(n1+n2)
b2
=0

故有(m1-m2,n1-n2)•(
m1+m2
a2
n1+n2
b2
)=0

PQ
⊥(
m1+m2
a2
,
n1+n2
b2
)

PQ
OB
,而
OB
=(x2,y2)
,得(x2,y2)•(
m1+m2
a2
,
n1+n2
b2
)=0
(A)
又由
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0
,得(x2,y2)•(
x1
a2
,
y1
b2
)=0
,(B)
所以由(A)(B)得(
m1+m2
a2
,
n1+n2
b2
)=λ(
x1
a2
,
y1
b2
)
,
(
m1+m2
2
n1+n2
2
)=
λ
2
(x1,y1)

故線段PQ被直線OA平分.
點評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時要認真審題,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線l過點F交拋物線C于A、B兩點.
(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在定點Q,使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點,且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,O為坐標原點,已知點M的橫坐標為
1
2

(Ⅰ)求證:點M的縱坐標為定值;
(Ⅱ)定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求S2011
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的Sn,設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)
.若對于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,試求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的兩點,已知O為坐標原點,橢圓的離心率e=
3
2
,短軸長為2,且
m
=(
x1
b
y1
a
),
n
=(
x2
b
,
y2
a
)
,若
m
n
=0

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線AB過橢圓的焦點F(0,c)(c為半焦距),求△AOB的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點,且
OM
=
1
2
OA
+
OB
),已知點M的橫坐標為
1
2
,且有Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),其中n∈N*且n≥2,
(1)求點M的縱坐標值;
(2)求s2,s3,s4及Sn;
(3)已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
,其中n∈N*,且Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn≤λ(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求λ的最小正整數(shù)值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是拋物線y=x2上的三個動點,其中x3>x2≥0,△ABC是以B為直角頂點的等腰直角三角形.
(1)求證:直線BC的斜率等于x2+x3,也等于
x2-x1x3-x2
;
(2)求A、C兩點之間距離的最小值.

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同步練習(xí)冊答案