Question

已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），且與圓C：（x-2）²+y²=20內(nèi)切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）求軌跡E上任意一點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)B（-1，0）的距離d的最小值，并求d取得最小值時(shí)的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切且過(guò)點(diǎn)A（-2，0）可得|MA|+|MC|=2

5

，又由2

5

＞|AC|=4，可知點(diǎn)M的軌跡為以A、C焦點(diǎn)的橢圓，從而寫(xiě)出軌跡方程；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)d=|BM|=

(x+1)2+y2

=

(x+1)2+(1- x2 5 )

=

4 5 (x+ 5 4 )2+ 3 4

，從而求最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）∵動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切且過(guò)點(diǎn)A（-2，0），
∴|MA|+|MC|=2

5

，
可知M到兩個(gè)定點(diǎn)A、C的距離的和為常數(shù)2

5

，
并且常數(shù)2

5

＞|AC|=4，
∴點(diǎn)M的軌跡為以A、C焦點(diǎn)的橢圓，
且a=

5

，c=2，b=1，
∴曲線(xiàn)E的方程為

x2

5

+y2=1．
（Ⅱ）由題意，
d=|BM|=

(x+1)2+y2

=

(x+1)2+(1- x2 5 )

=

4 5 (x+ 5 4 )2+ 3 4

，
∵-

5

≤x≤

5

，
∴當(dāng)x=-

5

4

時(shí)，d=

3

2

最�。�
∴dmin=

3

2

；
此時(shí)，M(-

5

4

，  ±

11

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線(xiàn)的求法及距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．