Question

8．求下列函數(shù)的值域．
（1）f（x）=$\frac{2}{x+1}$；
（2）f（x）=$\frac{2}{x+1}$（x＜-2）；
（3）f（x）=$\frac{x}{x+1}$；
（4）f（x）=$\frac{x}{x+1}$（x≥0）．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{2}{x+1}≠0$便可得出該函數(shù)的值域；
（2）由x的范圍，可以求出x+1的范圍，進一步得到$\frac{1}{x+1}$的范圍，從而便可得出該函數(shù)的值域；
（3）分離常數(shù)，$f（x）=1-\frac{1}{x+1}$，從而由$\frac{1}{x+1}≠0$便得到f（x）≠1，這樣便得出了該函數(shù)的值域；
（4）根據(jù)上面$f（x）=1-\frac{1}{x+1}$，由x的范圍，可以得出$\frac{1}{x+1}$的范圍，進一步可以得出f（x）的范圍，即得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）$\frac{2}{x+1}≠0$，即y≠0；
∴該函數(shù)的值域為{y|y≠0}；
（2）x＜-2；
∴x+1＜-1；
∴$-1＜\frac{1}{x+1}＜0$；
∴-2＜f（x）＜0；
∴該函數(shù)的值域為（-2，0）；
（3）$f（x）=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$；
$\frac{1}{x+1}≠0$；
∴f（x）≠1；
∴該函數(shù)的值域為{f（x）|f（x）≠1}；
（4）$f（x）=1-\frac{1}{x+1}$；
x≥0；
∴x+1≥1；
∴$0＜\frac{1}{x+1}≤1$；
∴0≤f（x）＜1；
∴該函數(shù)的值域為[0，1）．

點評 考查函數(shù)值域的概念，根據(jù)不等式的性質求函數(shù)值域，分離常數(shù)法求函數(shù)值域，要清楚反比例函數(shù)的值域．