Question

已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最小值為-2，求的取值范圍；

（3）若對(duì)任意，且恒成立，求的取值.

 

Answer 1

（1）；（2）;(3) .

【解析】

試題分析：（1）曲線在點(diǎn)處的切線斜率，等于函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值.

（2）遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、討論區(qū)間導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)、確定極值”等步驟，

通過(guò)討論，，，時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，確定得到最小值，

確定的取值范圍.

（3）根據(jù)題目的條件結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，即，

只要在上單調(diào)遞增即可.

通過(guò)研究

討論，，得到在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，只需在上恒成立，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719015700238018/SYS201411171902062996812642_DA/SYS201411171902062996812642_DA.022.png">，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成只要，從而，利用一元二次不等式的知識(shí)，得到實(shí)數(shù)的取值范圍.

本題突出利用了“轉(zhuǎn)化與化歸思想”.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

∵，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程是；

（2）函數(shù)x的定義域是．

當(dāng)時(shí)，

令，得或．

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是；

當(dāng)時(shí)，在上的最小值是，不合題意；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值是，不合題意．

綜上，a≥1；

（3）設(shè)，則，

只要在上單調(diào)遞增即可。 10分

而

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增； 11分

當(dāng)時(shí)，只需在上恒成立，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719015700238018/SYS201411171902062996812642_DA/SYS201411171902062996812642_DA.022.png">，只要，

則需要， 12分

對(duì)于函數(shù)，過(guò)定點(diǎn)（0，1），對(duì)稱軸，只需，

即. 綜上. 14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程.