設(shè)平面內(nèi)兩向量滿足：，點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)滿足：與互相垂直．求證：平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B，使對滿足條件的任意一點(diǎn)M均有|等于定值．
【答案】分析：由已知可得，把已知條件代入整理可得M的軌跡是雙曲線，由雙曲線的定義可知，滿足條件的點(diǎn)即為雙曲線的兩焦點(diǎn)，而定值即為雙曲線的實(shí)軸長2a
解答：證明：∵，∴
∵與垂直，且
∴
∴
整理可得
M（x，y）的軌跡是以（0，）（0，-）為焦點(diǎn)的雙曲線
由雙曲線的定義可知當(dāng)A，B分別為該雙曲線的焦點(diǎn)時(shí)，||MA|-|MB||=4
點(diǎn)評：本題以向量垂直為切入點(diǎn)，綜合考查雙曲線的定義的應(yīng)用，靈活熟練的推理論證及對基本知識(shí)的掌握是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)平面內(nèi)兩向量
a
，
b
滿足：
a
⊥
b
，|
a
|=2，|
b
|=1，點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)滿足：x
a
+(y2-4)
b
與-x
a
+
b
互相垂直．求證：平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B，使對滿足條件的任意一點(diǎn)M均有|||
MA
|-|
MB
||等于定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下5個(gè)命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，n為常數(shù)，|
PA
|-|
PB
|=n，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點(diǎn)，延長F1P到點(diǎn)M，使|F2P|=|PM|，則點(diǎn)M的軌跡是圓；
④A、B是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足向量
AB
與
AP
夾角為銳角θ，且滿足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，則點(diǎn)P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點(diǎn)）；
⑤已知正四面體A-BCD，動(dòng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且點(diǎn)P到平面BCD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•閘北區(qū)一模）設(shè)
a
、
b
為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量
c
滿足(
c
+
a
)•(
c
-
b
)=0，則|
c
|的最大值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考零距離　二輪沖刺優(yōu)化講練　數(shù)學(xué) 題型：047

設(shè)平面內(nèi)兩向量a、b滿足：a⊥b，｜a｜＝2，｜b｜＝1，點(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)滿足：xa＋(y2－4)b與－xa＋b互相垂直．

求證：平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B，使對滿足條件的任意一點(diǎn)M均有｜｜｜－｜｜｜等于定值．

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