【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，AB=BD= ，PB=
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱PC上的點，當PA∥平面BDQ時，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．

【答案】解：（Ⅰ）證明：取AD中點O，連結(jié)OP，OB， ∵PAD是邊長為2的正三角形，∴ ，
∵ ，
∴OB2+OP2=PB2 ， 則OP⊥OB，
∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，
又OP平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：連接AC交BD于E，連接QE，
∵PA∥平面BDQ，∴PA∥QE，
又E為AC的中點，∴Q為PC的中點．
以O(shè)為原點，分別以O(shè)A、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（0，2，0），D（﹣1，0，0），Q（﹣1，1， ）．
．
設(shè)平面BDQ的一個法向量為 ．
由 ，得 ，取z=2 ，得 ．
由圖可知，平面ABD的一個法向量 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取AD中點O，連結(jié)OP，OB，求解三角形可得OP⊥AD，OP⊥OB，再由線面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD，進一步得到平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）連接AC交BD于E，連接QE，由線面平行的性質(zhì)可得PA∥QE，則Q為PC的中點．以O(shè)為原點，分別以O(shè)A、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，得到平面BDQ與平面ABD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．

練習冊系列答案
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A.θ= ，t的最小值為
B.θ= ，t的最小值為
C.θ= ，t的最小值為
D.θ= ，t的最小值為

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【題目】已知菱形ABCD如圖（1）所示，其中∠ACD=60°，AB=2，AC與BD相交于點O，現(xiàn)沿AC進行翻折，使得平面ACD⊥平面ABC，取點E，連接AE，BE，CE，DE，使得線段BE再平面ABC內(nèi)的投影落在線段OB上，得到的圖形如圖（2）所示，其中∠OBE=60°，BE=2．
（Ⅰ）證明：DE⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．

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