Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2012π，則函數(shù)f（x）的各極大值之和為（　�。�

• A、

  eπ(1-e2012π)

  1-e2π

• B、

  eπ(1-e1006π)

  1-eπ

• C、

  eπ(1-e1006π)

  1-e2π

• D、

  eπ(1-e2012π)

  1-eπ

Answer 1

分析：先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而找到其極大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π，再利用數(shù)列的求和方法來(lái)求函數(shù)f（x）的各極大值之和即可．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），
所以f'（x）=（e^x）'（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）'=2e^xsinx，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）時(shí)原函數(shù)遞增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時(shí)，函數(shù)遞減．
故當(dāng)x=2kπ+π時(shí)，f（x）取極大值，
其極大值為f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π．
又0≤x≤2012π，
∴函數(shù)f（x）的各極大值之和S=e^π+e^3π+e^5π+…+e^2009π=

eπ[1-(e2π) 1005]

1-e2π

=

eπ(1-e2010π)

1-e2π

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及數(shù)列的求和．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問(wèn)題，是函數(shù)這一章最基本的知識(shí)，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．