Question

甲、乙兩位選手為為備戰(zhàn)我市即將舉辦的“推廣媽祖文化•印象莆田”知識競賽活動，進行針對性訓練，近8次的訓練成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑��?br />甲?83?81?93?79?78?84?88?94
乙?87?89?89?77?74?78?88?98
（Ⅰ）依據(jù)上述數(shù)據(jù)，從平均水平和發(fā)揮的穩(wěn)定程度考慮，你認為應派哪位選手參加？并說明理由；
（Ⅱ）本次競賽設(shè)置A、B兩問題，規(guī)定：問題A的得分不低于80分時答題成功，否則答題失敗，答題成功可獲得價值100元的獎品，問題B的得分不低于90分時答題成功，否則答題失敗，答題成功可獲得價值300元的獎品．答題順序可自由選擇，但答題失敗則終止答題．選手答題問題A，B成功與否互不影響，且以訓練成績作為樣本，將樣本頻率視為概率，請問在（I）中被選中的選手應選擇何種答題順序，使獲得的獎品價值更高？并說明理由．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）依據(jù)上述數(shù)據(jù)，從平均水平和發(fā)揮的穩(wěn)定程度考慮，求出甲、乙兩位選手近8次的訓練的平均成績以及方差；然后得到結(jié)論．
（Ⅱ）記事件C表示為“甲回答問題A成功”，事件D表示為“甲回答問題B成功”，則P（C）=

3

4

，P（D）=

1

4

，且事件C與事件D相互獨立．記甲按AB順序獲得獎品價值為ξ，ξ的分布列，甲按BA順序獲得獎品價值為η，推出η的分布列，分別求解期望，即可判斷獲得的獎品價值更高的選手．

解答： 解：（I）記甲、乙兩位選手近8次的訓練的平均成績分別為

.

x

甲、

.

x

乙，方差分別為

s

2 甲

、

s

2 乙

．

.

x

甲=

83+81+93+79+78+84+88+94

8

=85，

.

x

乙=

89+98+77+74+87+78+79+88

8

=85．…（2分）

s

2 甲

=

1

8

[(83-85)2+(81-85)2+(93-85)2+(79-85)2+(78-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(94-85)2]=

65

2

，

s

2 乙

=

1

8

[(89-85)2+(98-85)2+(77-85)2+(74-85)2+(87-85)2+(78-85)2+(89-85)2+(88-85)2]=56．…（4分）
因為

.

x

甲=

.

x

乙，

s

2 甲

＜

s

2 乙

，所以甲、乙兩位選手的平均水平相當，但甲的發(fā)揮更穩(wěn)定，故應派甲參加．…（5分）
（II）記事件C表示為“甲回答問題A成功”，事件D表示為“甲回答問題B成功”，則P（C）=

3

4

，P（D）=

1

4

，且事件C與事件D相互獨立． …（6分）
記甲按AB順序獲得獎品價值為ξ，則ξ的可能取值為0，100，400．
P（ξ=0）=P（

.

C

）=

1

4

，P（ξ=100）=P（C

.

D

）=

3

4

×

3

4

=

9

16

，P（ξ=400）=P（CD）=

3

4

×

1

4

=

3

16

．
即ξ的分布列為：

ξ	0	100	400
P	1 4	9 16	3 16

所以甲按AB順序獲得獎品價值的數(shù)學期望Eξ=0×

1

4

+100×

9

16

+400×

3

16

=

525

4

．…（9分）
記甲按BA順序獲得獎品價值為η，則η的可能取值為0，300，400．
P（η=0）=P（

.

D

）=

3

4

，P（η=300）=P（D

.

C

）=

1

4

×

1

4

=

1

16

，P（η=400）=P（DC）=

3

4

×

1

4

=

3

16

，
即η的分布列為：

η	0	300	400
P	3 4	1 16	3 16

所以甲按BA順序獲得獎品價值的數(shù)學期望Eη=0×

3

4

+300×

1

16

+400×

3

16

=

375

4

．…（12分）
因為Eξ＞Eη，所以甲應選擇AB的答題順序，獲得的獎品價值更高．…（13分）

點評：本小題主要考查平均數(shù)、方差、古典概型、相互獨立事件的概率、離散型隨機變量分布列、數(shù)學期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應用意識，考查必然與或然思想、分類與整合思想．