Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0求b的值．
（2）利用定義證明，即取值、作差、變形判斷符號、下結(jié)論．
（3）結(jié)合（1），（2）的性質(zhì)進(jìn)行化簡，最終解一個關(guān)于t的不等式．

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即

b-1

2+2

=0，所以b=1，所以f(x)=

1-2x

2+2x+1

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
設(shè)x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

．
因為函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，
又(2x1+1)(2x2+1)＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)．
（3）因為f（x）為奇函數(shù)，所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化為
f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因為f（x）為減函數(shù)，由上式得：t²-2t＞k-2t²，即對一切t∈R，有：
3t²-2t-k＞0．
從而△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義，以及不等式的恒成立問題的處理方法，一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．