Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a1=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n+b_n，求{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn+2=3log

1

4

an，知bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2．由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（3）由an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，知c_n=a_n+b_n=（

1

4

）ⁿ+3n-2，由此利用分組求和法能求出{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）在數(shù)列{a_n}中，∵a1=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列，
∴a_n=（

1

4

）ⁿ，n∈N^*．
（2）∵bn+2=3log

1

4

an，
∴bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2．
∴b₁=1，b_n+1-b_n=3，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為b₁=1，公差d=3的等差數(shù)列．
（3）由（1）知an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，
∴c_n=a_n+b_n=（

1

4

）ⁿ+3n-2，
∴S_n=1+

1

4

+4+（

1

4

）²+7+（

1

4

）³+…+（3n-5）+（

1

4

）^n-1+（3n-2）+（

1

4

）ⁿ
=[1+4+7+…+（3n-5）+（3n-2）]+[

1

4

+（

1

4

）²+（

1

4

）³+…+（

1

4

）ⁿ]
=

n(1+3n-2)

2

+

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

3n2-n

2

+

1

3

-

1

3

•(

1

4

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n和的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分組求和法的合理運(yùn)用．