Question

函數(shù)f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）是R上的偶函數(shù)，
（1）求?的值．
（2）若f（x）圖象上的點(diǎn)關(guān)于M（

3

4

π，0）對(duì)稱，①求ω滿足的關(guān)系式；②若f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)，求ω的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合題意得sin?=±1，結(jié)合題設(shè)0≤?≤π，解之可得?=

π

2

；
（2）由（1）可得f（x）=cosωx，由余弦曲線的對(duì)稱中心的公式，建立關(guān)于ω的等式，算出ω=

2

3

(2k+1)，其中k=0，1，2，…．結(jié)合f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)性，即可解出ω=

2

3

或ω=2．

解答：解：（1）由f（x）是偶函數(shù)，可得f（0）=±1，
故sin?=±1，即?=kπ+

π

2

，
結(jié)合題設(shè)0≤?≤π，解之得?=

π

2

，…（5分）
（2）由（1）知f（x）=sin(ωx+

π

2

)=cosωx，
∵f（x）圖象上的點(diǎn)關(guān)于M（

3

4

π，0）對(duì)稱，
∴f（

3

4

π）=cos

3

4

ωπ=0，故

3

4

ωπ=kπ+

π

2

(k∈N)
即ω=

2

3

(2k+1)，k=0，1，2，…．…（10分）
∵f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)，可得

π

2

≤

1

2

•

2π

ω

，即ω≤2
又∵ω=

2

3

(2k+1)，k=0，1，2，…．
∴綜合以上條件，可得ω=

2

3

或ω=2．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)f（x）=sin（ωx+?）滿足的條件，求參數(shù)的值，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性和圖象的對(duì)稱性等知識(shí)，屬于中檔題．