Question

已知f（x）=alnx-ax-3
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間  
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處切線的傾斜角為45°，若函數(shù)g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在區(qū)間（2，3）上不單調(diào)，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用函數(shù)圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，建立不等式，即可求得m的范圍．

解答：解：（1）a=2，則f（x）=2lnx-2x-3，∴f′（x）=

2(1-x)

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1；令f′（x）＜0，
∵x＞0，∴x＞1；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=

a(1-x)

x

∵函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處切線的傾斜角為45°，
∴f′（2）=-

a

2

=1，∴a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在區(qū)間（2，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2
∴

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴

12+2(m+4)-2＜0 27+3(m+4)-2＞0

∴-

37

3

＜m＜-9．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．