Question

已知f′（x）是f（x）的導函數(shù)，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函數(shù)f（x）的圖象過點（0，-2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達式；
（2）設g(x)=

1

x

+aln(x+1)-2a在點（1，g（1））處的切線與y軸垂直，求g（x）的極大值．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導可得f′(x)=

1

x+1

，從而可得f′(1)=

1

2

，由函數(shù)f（x）的圖象過點（0，-2）可得f（0）=-2代入可求．
（2）對函數(shù)g（x）求導，由題意可得g′（1）=0，代入可求a的值及函數(shù)g（x），研究函數(shù)g（x）的單調性，結合單調性求函數(shù)的極大值．

解答：解：（1）由已知得f′(x)=

1

x+1

，∴f′(1)=

1

2

（2分）
又f（0）=-2∴ln1+m-2×

1

2

=-2（4分）
∴m=-1，（5分）
∴f（x）=ln（x+1）-2（6分）
（2）∵g(x)=

1

x

+aln(x+1)-2a．
∴g′(x)=-

1

(x+1)2

+

a

x+1

=

ax+a-1

(x+1)2

．（8分）
又x∈（-1，0）∪（0，+∞）
由g′(1)=

a-2

2

=0，得a=2（10分）
∴g(x)=

1

x

+2ln(x+1)-4
∴g′(x)=

2x2-x-1

(x+1)•x2

=

(2x+1)(x-1)

(x+1)•x2

由g'（x）＞0，解得-1＜x＜-

1

2

或x＞1；
由g'（x）＜0，解得-

1

2

＜x＜1或x≠0．（12分）
則g（x）的單調增區(qū)間是(-1，-

1

2

)，(1，+∞)，
單調遞減區(qū)間是(-

1

2

，0)，(0，1)．
故g（x）極大值為g(-

1

2

)=-2+2ln(-

1

2

+1)-4=-6-2ln2，
極小值為g（1）=1+2ln2-4=-3+2ln2．（14分）

點評：本題考查了函數(shù)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點的導數(shù)值即為改點的切線的斜率，屬于基本知識、基本運算的考查．