已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，且過(guò)點(diǎn)
M（2，1），又橢圓E上存在A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+m對(duì)稱．
（Ⅰ）求橢圓E的方程，
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍，
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P在直線l上，若∠APB=
2π
3
，求S△APB的最大值．
（Ⅰ）∵
c
a
=
2
2
且
4
a2
+
1
b2
=1
∴a=
6
，b=
3

∴橢圓E得方程為：
x2
6
+
y2
3
=1

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=-x+n，設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2）
由
x2+2y2-6=0
y=-x+n
得3x2-4nx+2n2-6=0
∵△＞0∴-3＜n＜3
∵
x1+x2=
2n
3
x1x2=
2n2-6
3
設(shè)A．B的中點(diǎn)C（x0，y0），
則
x0=
n
3
y0=
2n
3
點(diǎn)C在ly=-x+n上
∴n=3m即-3＜3m＜3得-1＜m＜1

（Ⅲ）依題意得：△APB是等腰三角形，∠APB=
2π
3

∴S△APB=
1
2
|AB|•(
|AB|
2
3
)=
3
12
|AB|2
∵|AB|=
2
|x1-x2|=
4
3
9-n2

∴|AB|2=
16
9
(9-n2)
∴當(dāng)n=0時(shí)，S△APB取最大值
4
3
3
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長(zhǎng)等于8
2
，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過(guò)點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
（1）若過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1（0，-b）時(shí)，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時(shí)的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)交點(diǎn)為F1(-
3
，0)，而且過(guò)點(diǎn)H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T(mén)．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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