Question

已知過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），計(jì)算的值，由此歸納一條與拋物線有關(guān)的性質(zhì)，使得上述計(jì)算結(jié)果是性質(zhì)的一個(gè)特例：
過(guò)（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則    ；
過(guò)（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則    ；
過(guò)（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則    ．

Answer 1

【答案】分析：過(guò)（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可令直線方程為y=kx+2，則易得聯(lián)立直線與拋物線的方程后，易得；然后根據(jù)歸納推理的辦法，由此推斷出過(guò)（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）時(shí)，滿足的性質(zhì)，及過(guò)（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）時(shí)，滿足的性質(zhì)．
解答：解：若過(guò)（0，2）的直線斜率不存在或k=0，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足要求；
若過(guò)（0，2）的直線斜率存在且不為0，則可設(shè)y=kx+2
（1）又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)是直線與拋物線y²=4x的交點(diǎn)，則

即
由韋達(dá)定理得：
，且
∴
（2）又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)是直線與拋物線y²=2px（p＞0）的交點(diǎn)，則

即
由韋達(dá)定理得：
，且
∴
（3）由此推斷：過(guò)（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
故答案為：，，
點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．