Question

已知過點(diǎn)（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），計(jì)算

1

y1

+

1

y2

的值，由此歸納一條與拋物線有關(guān)的性質(zhì)，使得上述計(jì)算結(jié)果是性質(zhì)的一個(gè)特例：

根據(jù)回答的層次給分
過（0，2）的直線與拋物線y²=4x交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

2

；
過（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

2

；
過（0，b）（b≠0）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

2

．

（根據(jù)回答的層次給分）

Answer 1

分析：過（0，2）的直線與拋物線y²=4x交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可令直線方程為y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系易得

1

y1

+

1

y2

=

1

2

；然后根據(jù)歸納推理的辦法，由此推斷出過（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）時(shí)，滿足的性質(zhì)，及過（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）時(shí)，滿足的性質(zhì)．

解答：解：若過（0，2）的直線斜率不存在或k=0，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足要求；
若過（0，2）的直線斜率存在且不為0，則可設(shè)y=kx+2
又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)是直線與拋物線y²=4x的交點(diǎn)，則

y=kx+2 y2=4x

即 y2-

4

k

y+

8

k

=0
∴y1+y2=

4

k

，且 y1•y2=

8

k

∴

1

y1

+

1

y2

=

1

2

因?yàn)锳，B兩點(diǎn)是直線與拋物線y²=2px（p＞0）的交點(diǎn)，則

y=kx+2 y2=2px

即 y2-

2p

k

y+

4p

k

=0
∴y1+y2=

2p

k

，且 y1•y2=

4P

k

∴

1

y1

+

1

y2

=

1

2

．
由此歸納推斷：過（0，b）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

b

．
故答案為：過（0，2）的直線與拋物線y²=4x交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

2

（1分）
過（0，2）的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

2

（1分）
過（0，b）（b≠0）的直線與拋物線y²=mx（m≠0）交與不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

y1

+

1

y2

=

1

b

（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、歸納推理．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．