【題目】如圖,數(shù)軸x、y的交點為O,夾角為,與x軸、y軸正向同向的單位向量分別是,由平面向量基本定理,對于平面內(nèi)的任一向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對,使得,我們把叫做點P在斜坐標系xOy中的坐標(以下各點的坐標都指在斜坐標系xOy中的坐標)

1)若,為單位向量,且的夾角為120°,求點P的坐標;

2)若,點P的坐標為,求向量的夾角;

3)若,直線l經(jīng)過點,求原點O到直線l的距離的最大值.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)設(shè)出點的坐標,結(jié)合為單位向量,且的夾角為120°,列等式求解即可;

2)由題意求出,的值,再結(jié)合向量的夾角公式求解即可;

3)由題意得到點A在直角坐標系下的坐標,再由兩點的距離公式求解即可.

解:(1)當為單位向量,且的夾角為120°

設(shè),,且

,代入運算可得,即;

2)若,點P的坐標為,則,

,

,

設(shè)向量與向量的夾角為,則,

即向量的夾角為;

3)當,直線l經(jīng)過點,設(shè)點A在直角坐標系的坐標為,由題意可得,即點A在直角坐標系的坐標為,

又因為直線l經(jīng)過點,

則原點O到直線l的距離取最大值時,直線l垂直,且交于點,

即原點O到直線l的距離的最大值為.

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整理評分數(shù)據(jù),將分數(shù)以10為組距分成6組: , , , , , ,得到餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖,和餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表:

定義學(xué)生對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”如下:

分數(shù)

滿意度指數(shù)

(Ⅰ)在抽樣的100人中,求對餐廳評價“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù);

(Ⅱ)從該校在, 兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機抽取1人進行調(diào)查,試估計其對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高的概率;

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(1)計算這次預(yù)選賽的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

(2)若對得分在前的學(xué)生進行校內(nèi)獎勵,估計獲獎分數(shù)線;

(3)若這60名學(xué)生中男女生比例為,成績不低于60分評估為“成績良好”,否則評估為“成績一般”,試完成下面列聯(lián)表,是否有的把握認為“成績良好”與“性別”有關(guān)?

成績良好

成績一般

合計

男生

女生

合計

附:

臨界值表:

0.10

0.05

0.010

2.706

3.841

6.635

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