Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，點M是PD的中點，作ME⊥PC，交PC于點E．

（1）求證：PB∥平面MAC；
（2）求證：PC⊥平面AEM；
（3）求二面角A﹣PC﹣D的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖建立空間直角坐標系D﹣xyz，設AD=1．

， ，所以 ，

即PB∥MG，因此，PB∥平面MAC

（2）證明： ， ，

故 ，

所以PC⊥AM，又PC⊥EM，

所以 PC⊥平面AEM

（3）解：由（2）知PC⊥AE，故MEA是二面角A﹣PC﹣D的平面角．

設E=（x，y，z），則 ．因為 ，

所以（x，y，z﹣1）=k（1，1，﹣1），

即x=k，y=k，z=1﹣k．

所以 ，

所以k= ，點 ．

又點 ，所以 ， =（ ， ，﹣ ），

故 ，

所以∠MEA=60°，即二面角A﹣PC﹣D的大小為60°

【解析】（1）建立空間坐標系，求出直線對應的向量，利用向量法即可證明PB∥平面MAC；（2）根據線面垂直的判定定理結合向量法即可證明PC⊥平面AEM；（3）根據二面角的定義作出二面角的平面角，結合向量即可求二面角A﹣PC﹣D的大小．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．