Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²．若直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）的圖象在[0，2]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是（ ）
A．0
B．0或
C．或
D．0或

Answer 1

【答案】分析：先作出函數(shù)f（x）在[0，2]上的圖象，再分類討論，通過數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用即可解決問題．
解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，
∴當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為2的函數(shù)，
又直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）的圖象在[0，2]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，其圖象如下：

當(dāng)a=0時(shí)，直線y=x+a變?yōu)橹本�l₁，其方程為：y=x，顯然，l₁與函數(shù)y=f（x）的圖象在[0，2]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；
當(dāng)a≠0時(shí)，直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）的圖象在[0，2]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，由圖可知，直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x∈[0，1]．
由得：x²-x-a=0，由△=1+4a=0得a=-，此時(shí)，x=x=∈[0，1]．
綜上所述，a=-或0
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性與求方程的解，考查數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題．