Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

1

2

(

4n+1

-1)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1，整理得

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n-1

=1，進(jìn)而得{

Sn

2n-1

}是公差為1的等差數(shù)列；求出S_n的表達(dá)式，再利用已知前n項和求通項公式的方法即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的結(jié)論得

1

an

=

1

4n-3

=

2

4n-3 + 4n-3

，再把其放縮到

1

2

(

4n+1

-

4n-3

)，代入所求即可證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1，得

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n-1

=1，
∴{

Sn

2n-1

}是公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

2n-1

=

S1

1

+(n-1)×1=S1+n-1，S_n=（2n-1）（S₁+n-1）①
又∵{a_n}等差數(shù)列，∴a₁+a₃=2a₂，即a₁+（S₃-S₂）=2（S₂-S₁）．
由①得a₁+[5（a₁+2）-3（a₁+1）]=2[3（a₁+1）-a₁]，
解得a₁=1，代入①得S_n=2n²-n．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3，
上式對n=1也適用，∴a_n=4n-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

1

an

=

1

4n-3

=

2

4n-3 + 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

1

2

(

4n+1

-

4n-3

)，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

1

2

(

5

-1+

9

-

5

+…+

4n+1

-

4n-3

)
=

1

2

(

4n+1

-1)，故原不等式成立．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推式以及數(shù)列與不等式的綜合問題．解決第二問的關(guān)鍵在于把

1

an

=

1

4n-3

=

2

4n-3 + 4n-3

，放縮到

1

2

(

4n+1

-

4n-3

)．