Question

已知函數(shù)f(x)=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)a的值；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)和切線斜率相等，求出a的值．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（x）在閉區(qū)間上的最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=

a(x-1)

x2

，
∴f′(x)=

a(x-1)′•x2-a(x-1)•(x2)′

x4

=

a(2-x)

x3

（x≠0），
∵a＞0，∴由f'（x）＞0，得0＜x＜2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
由f'（x）＜0，得x＞2或x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（x，y），
由切線斜率k=1=
＜e^a-1＜e，（1＜a＜2），
在區(qū)間g（x）和g（e^a-1）=a-e^a-1上，e^a-1≥e；在區(qū)間y²=4x上，F(xiàn)．
所以，l的單調(diào)遞減區(qū)間是M（4，0）和F，單調(diào)遞增區(qū)間是l．
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（x，y），
由切線斜率k=1=

a(2-x)

x3

，則x³=-ax+2a，①
由x-y-1=x-

a(x-1)

x2

-1=0，得（x²-a）（x-1）=0，解得x=1，x=±

a

，
把x=1代入①得a=1，
把x=

a

代入①得a=1，
把x=-

a

代入①得a=-1（舍去），
故所求實(shí)數(shù)a的值為1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=e^a-1，
故g（x）在區(qū)間（e^a-1，+∞）上遞增，在區(qū)間（0，e^a-1）上遞減，
①當(dāng)e^a-1≤1時(shí)，即0＜a≤1時(shí)，g（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，其最小值為g（1）=0；
②當(dāng)1＜e^a-1＜e時(shí)，即0＜a＜2時(shí)，g（x）的最小值為g（e^a-1）=a-e^a-1；
③當(dāng)e^a-1≥e，即a≥2時(shí)，g（x）在區(qū)間[1，e]上遞減，其最小值為g（e）=e+a-ae．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想，是高考的�？碱}型．