Question

設x、y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.

Answer 1

思路分析：要證充要條件，需要證明充分性，還要證明必要性，對x,y的取值進行討論，再綜合總結.分x，y中有一個為0，均為0及x、y的符號的各種情況.?

證明：充分性：若xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|.?

如果xy＞0,即x＞0,y＞0或x＜0,y＜0,?

當x＞0,y＞0時,|x+y|=x+y=|x|+|y|.?

當x＜0,y＜0時,|x+y|=-（x+y）=-x+（-y）=|x|+|y|.?

總之,當xy≥0時,有|x+y|=|x|+|y|.?

必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R,得（x+y）²=（|x|+|y|）²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y².?

|xy|=xy.∴xy≥0.?

綜上，結論成立.

溫馨提示

充要條件的證明關鍵是根據定義確定哪是已知條件，哪是結論，然后搞清楚充分性是證明哪一個命題，心要性是證明哪一個命題.