Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求證：平面PBC⊥平面PBD；
（3）設(shè)Q為棱PC上一點，$\overrightarrow{CQ}$=λ$\overrightarrow{CP}$，試確定λ的值使得二面角Q-BD-P為60°．

Answer 1

分析 （1）令PD中點為F，連接EF，AF，推導(dǎo)出四邊形FABE為平行四邊形，從而BE∥AF，由此能證明BE∥面PAD．
（2）過點B作BH⊥CD于H，推導(dǎo)出BC⊥BD．PD⊥BC，從而BC⊥平面PBD，由此能證明平面PBC⊥平面PBD．
（3）作QR⊥CD于R，作RS⊥BD于S，連結(jié)QS，則∠QSR就是二面角Q-BD-C的平面角，且∠QSR=60°，由此能求出λ的值使得二面角Q-BD-P為60°．

解答 證明：（1）令PD中點為F，連接EF，AF，
∵點E，F(xiàn)分別是PC、PD的中點，∴EF$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}CD$，∴EF$\underline{\underline{∥}}$AB．
∴四邊形FABE為平行四邊形．∴BE∥AF，
∵AF?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥面PAD．
（2）在梯形ABCD中，過點B作BH⊥CD于H，
在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°．
又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，
∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．
∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，PD⊥CD，PD?面PCD，
∴PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
∵BD∩PD=D，BD?平面PBD，PD?平面PBD，
∴BC⊥平面PBD，BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．
解：（3）作QR⊥CD于R，作RS⊥BD于S，連結(jié)QS
由于QR∥PD，∴QR⊥平面ABCD
∴∠QSR就是二面角Q-BD-C的平面角，
∵面PBD⊥面ABCD，且二面角Q-BD-P為60°
∴∠QSR=60°∴$SR=\frac{{\sqrt{3}}}{3}QR$
∵QR∥PD∴$\frac{CQ}{CP}=\frac{CR}{CD}=\sqrt{6}-2$
∴$λ=\sqrt{6}-2$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．