Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC₁，
(Ⅰ)證明：AB=AC；
(Ⅱ)設(shè)二面角A-BD-C為60°，求B₁C與平面BCD所成的角的大小。

Answer 1

(Ⅰ)證明：取BC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則，從而， 連結(jié)AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF∥DE， 又DE⊥平面BCC1， 故AF⊥平面BCC1，從而AF⊥BC， 即AF為BC的垂直平分線(xiàn)，所以AB=AC． (Ⅱ)解：作AC⊥BD，垂足為G，連結(jié)CG． 由三垂線(xiàn)定理知CG⊥BD，故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角， 由題設(shè)知，∠AGC=60°，設(shè)AC=2，則， 又AB=2，BC=2，故AF=， 由AB·AD =AG·BD得， 解得AD=，故AD=AF， 又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形． 因?yàn)锽C⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A， 故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF， 連結(jié)AE、DF，設(shè)AE∩DF=H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD， 連結(jié)CH，則∠ECH為B1C與平面BCD所成的角， 因ADEF為正方形，AD=，故EH=1， 又， 所以∠ECH=30°，即B1C與平面BCD所成的角為30°。