Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，且|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，過(guò)橢圓焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若存在以原點(diǎn)為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且

OA

⊥

OB

，求出該圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）通過(guò)|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，過(guò)橢圓焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3．列出方程，求出a、b，即可求橢圓E的方程；
（2）假設(shè)以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓滿足條件．（ⅰ）若圓的切線的斜率存在，并設(shè)其方程為y=kx+m，則r=

|m|

k2+1

，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），結(jié)合x(chóng)₁x₂+y₁y₂=0，即可求圓的方程．
（ⅱ）若AB的斜率不存在，設(shè)A（x₁，y₁），則B（x₁，-y₁），利用

OA

⊥

OB

，求出半徑，得到結(jié)果．

解答： 解：（1）由題知2|F₁F₂|=|MF₁|+|MF₂|，
即2×2c=2a，得a=2c．①又由

2b2

a

=3，得b2=

3

2

a②
且a²=b²+c²，綜合解得c=1，a=2，b=

3

．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．-----------------（5分）
（2）假設(shè)以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓滿足條件．
（�。┤魣A的切線的斜率存在，并設(shè)其方程為y=kx+m，則r=

|m|

k2+1

，
r²=

m2

k2+1

，①
消去y，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即4（1+k²）（m²-3）-8k²m²+3m²+4k²m²=0，化簡(jiǎn)得m²=

12

7

（k²+1），②
由①②求得r²=

12

7

．所求圓的方程為x²+y²=

12

7

．------------------（10分）
（ⅱ）若AB的斜率不存在，設(shè)A（x₁，y₁），則B（x₁，-y₁），∵

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=0，得x=

12

7

．
此時(shí)仍有r²=|x|=

12

7

．
綜上，總存在以原點(diǎn)為圓心的圓x²+y²=

12

7

滿足題設(shè)條件．

點(diǎn)評(píng)：考查橢圓的方程和基本性質(zhì)，與向量相結(jié)合的綜合問(wèn)題．考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．