Question

若圓x²+y²=4與圓x²+y²+ay-2=0的公共弦的長(zhǎng)度為2

3

，則常數(shù)a的值為

±2

．

Answer 1

分析：化圓x²+y²+ay-2=0為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓形和半徑，得到其圓心在y軸上，在平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)圓，結(jié)合兩元的公共弦長(zhǎng)，由圖可知兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后分圓心在x軸上方和下方，利用圓心到交點(diǎn)的距離等于半徑列式求解a的值．

解答：解：由圓x²+y²+ay-2=0，得x2+(y+

a

2

)2=2+

a2

4

，表示以（0，-

a

2

）為圓心的圓．
當(dāng)a＜0時(shí)，是圓心在x軸上方的圓，當(dāng)a＞0時(shí)，是圓心在x軸下方的圓．
圓x²+y²=4是以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓，如圖：
∵圓x²+y²=4與圓x²+y²+ay-2=0的公共弦的長(zhǎng)度為2

3

，
∴兩圓焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-

3

，

3

，代入圓x²+y²=4，得y=±1．
當(dāng)圓x²+y²+ay-2=0的圓心在x軸上方，交點(diǎn)為(-

3

，1)，(

3

，1)，圓心與交點(diǎn)距離為半徑，
即

(0- 3 )2+(- a 2 -1)2

=

2+ a2 4

，解得：a=-2；
當(dāng)圓x²+y²+ay-2=0的圓心在x軸下方，交點(diǎn)為(-

3

，-1)，(

3

，-1)，圓心與交點(diǎn)距離為半徑，
即

(0- 3 )2+(- a 2 +1)2

=

2+ a2 4

，解得a=2．
綜上，常數(shù)a的值為±2．
故答案為：±2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及其判定，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了計(jì)算能力，是中檔題．