Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，∴，
∴，，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
，可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
．①
．②
由①-②得．
∴．
分析：（I）由于各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，兩邊同除以a_na_n+1，即可得到，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式即可得出；
（II）由（Ⅰ）知．利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．