Question

過拋物線焦點的直線與拋物線交于A、B兩點，O是坐標原點．則=    ；若該拋物線上有兩點M、N，滿足OM⊥ON，則直線MN必過定點    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線方程可求焦點F，設出直線AB的方程聯(lián)立，消去y整理成關于x的一元二次方程，設出A兩點坐標，由韋達定理可以求得答案．
（2）設MN的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關系可得M，N的坐標的關系式，根據(jù)MO⊥NO推斷出，即可
解答：解：∵拋物線焦點F（0，）
設過焦點F的直線AB的方程為y=kx+，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程可得x²-2kx-1=0
∴x₁x₂=-1，==
∵=x₁x₂+y₁y₂=
設直線MN的方程為y=mx+n，M（a，b），N（c，d）
聯(lián)立方程可得x²-2mx-2n=0
則c+c=2m，ac=-2n，bd==n²
∵OM⊥ON
∴=ac+bd=-2n+n²=0
∵n≠0
∴n=2，，即直線MN的方程為y=mx+2，從而可得直線MN過定點（0，2）
故答案為：；（0，2）
點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，兩個向量的數(shù)量積公式，涉及到直線與圓錐線的問題一般是聯(lián)立方程，設而不求，屬于中檔題．