Question

二項(xiàng)式(

1

3 x

-

x

2

)n展開(kāi)式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍．求：
（1）n；
（2）展開(kāi)式中的所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，求出第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第三項(xiàng)系數(shù)，列出方程求出n
（2）將n的值代入通項(xiàng)，當(dāng)x的指數(shù)為整數(shù)時(shí)，為有理項(xiàng)，令r=0，3，6求出展開(kāi)式的有理項(xiàng)．

解答：解：（1）展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=(-

1

2

)r

C

r n

x

4r-n

3

據(jù)題意有C_n⁴=4C_n²
解得n=6
（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=(-

1

2

)r

C

r 6

x

4r-6

3

=(-

1

2

)r

C

r 6

x

4r

3

-2
當(dāng)r是3的倍數(shù)時(shí)，為有理項(xiàng)
所以r=0，3，6
T1=x-2，T4=-

5

2

x2，T7=

x6

64

點(diǎn)評(píng)：解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題常利用的工具是二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式．