Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設(shè)直線(xiàn)PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線(xiàn)x-y+2=0與圓相切，∴，即，
又，即，
∵a²=b²+c²，
∴，c=1，
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），，，
則，即，
∵直線(xiàn)PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，
∴，，
∴，
∴k₁•k₂為定值．
分析：（I）寫(xiě)出圓的方程，利用直線(xiàn)與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關(guān)系，再利用橢圓本身三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出a，c的值，將a，b的值代入橢圓的方程即可．
（II）設(shè)出P的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程得到P的坐標(biāo)的關(guān)系，寫(xiě)出A，B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率公式求出
k₁，k₂，將P的坐標(biāo)的關(guān)系代入k₁k₂化簡(jiǎn)求出其值．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查圓錐曲線(xiàn)的方程，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)的斜率，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求圓錐曲線(xiàn)的方程．