Question

給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=-e^-x+e^x有最小值2；
②函數(shù)f（x）=4sin（2x-

π

3

）的圖象關于點（

π

6

，0）對稱；
③若“p且q”為假命題，則p、q為假命題；
④已知定義在R上的可導函數(shù)y=f（x）滿足：對?x∈R都有f（-x）=-f（x）成立，
若當x＞0時，f′（x）＞0，則當x＜0時，f′（x）＞0
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用基本不等式求函數(shù)最小值判斷命題①；
把x=

π

6

代入函數(shù)解析式求解函數(shù)值判斷命題②；
由復合命題的真值表判斷命題③；
利用奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，結合函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)符號間的關系判斷命題④．

解答： 解：對于①，∵e^x＞0，
∴f（x）=e^-x+e^x≥2

e-x•ex

=2，命題①正確；
對于②，當x=

π

6

時，f(

π

6

)=4sin(2×

π

6

-

π

3

)=0，
∴函數(shù)f（x）=4sin（2x-

π

3

）的圖象關于點（

π

6

，0）對稱，命題②正確；
對于③，若“p且q”為假命題，則p或q為假命題，∴命題③錯誤；
對于④，由對?x∈R都有f（-x）=-f（x）成立，
∴該函數(shù)是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，
又當x＞0時，f′（x）＞0，說明函數(shù)是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴當x＜0時，函數(shù)也為增函數(shù)，即當x＜0時，f′（x）＞0．命題④正確．
∴正確命題的序號是①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，解答④的關鍵是明確奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性的關系，是中檔題．