Question

若對(duì)滿足條件x2+y2+xy=

3

16

(x＞0，y＞0)的任意x，y，不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立．則實(shí)數(shù)a的最大值是

5

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)等式確定x+y的取值范圍，再將對(duì)任意滿足條件的正實(shí)數(shù)x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0，轉(zhuǎn)化為a≤（x+y）+

1

x+y

對(duì)任意滿足條件的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，求出右邊的最小值，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵x2+y2+xy=

3

16

(x＞0，y＞0)，
∴（x+y）²-xy=

3

16

，即（x+y）²=

3

16

+xy≤

3

16

+(

x+y

2

)2，
∴

3

4

(x+y)2≤

3

16

（x＞0，y＞0）即x+y≤

1

2

，（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

1

4

時(shí)，取等號(hào)）
∵對(duì)任意滿足條件的正實(shí)數(shù)x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0
∴a≤（x+y）+

1

x+y

對(duì)任意滿足條件的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，
令t=x+y（t≤

1

2

），則f（t）=t+

1

t

在（-∞，

1

2

]上為單調(diào)減函數(shù)，
∴f（t）=t+

1

t

≥

1

2

+

1

1 2

=

5

2

，（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

1

4

時(shí)，取等號(hào)）
∴a≤

5

2

即實(shí)數(shù)a的最大值是

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將對(duì)任意滿足條件的正實(shí)數(shù)x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0，轉(zhuǎn)化為a≤（x+y）+

1

x+y

對(duì)任意滿足條件的正實(shí)數(shù)x，y恒成立．屬于中檔題．