【題目】如圖所示的空間幾何體中,四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形, 平面, , , .

(1)求證:平面平面;

(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析(Ⅱ)

【解析】試題分析:(I)連接于點(diǎn),根據(jù)正方形的對(duì)角線有 ,設(shè)的中點(diǎn)分別為,連接,得,連接,利用平行證得,而,所以平面,所以平面平面.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算平面與平面的法向量,并由此計(jì)算二面角的余弦值.

試題解析:

(1)證明:連接于點(diǎn),則

設(shè), 的中點(diǎn)分別為, ,連接,則,

連接, ,則 ,所以,所以

由于平面,所以

所以 ,所以平面

所以平面平面

(2)解法一:∵,∴

∴平面與平面所成的銳二面角即為平面與平面所成的銳二面角

連接,∵平面,

為平面與平面所成二面角的一個(gè)平面角

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為

解法二:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

依題意為平面的一個(gè)法向量,

設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則

,

,所以

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為,則

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求橢圓的方程;

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(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為不同年齡與支持申辦奧運(yùn)無(wú)關(guān)?

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附: , .

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