Question

已知二次函數(shù)f（x）的最小值1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[3a，a+1]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在區(qū)間[-1，3]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出S（x）=f（x）-3，利用函數(shù)的最小值，求出f（x）的解析式；
（2）通過f（x）在區(qū)間[3a，a+1]上不單調(diào)，說明對稱軸在求解內(nèi)部，然后求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在區(qū)間[-1，3]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，直接利用二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求解即可．

解答： 解：（1）設(shè)S（x）=f（x）-3=a（x-0）（x-2），
∴f（x）=ax（x-3）+3，
∴f（x）=ax²-2ax+3，
又

12a-4a2

4a

=3-a=1⇒a=2，
∴f（x）=2x²-4x+3；
（2）由對稱軸x=1，
∴

3a＜1 a+1＞1

⇒0＜a＜

1

3

，
（3）x∈[-1，3]時(shí)，2x²-4x+3＞2x+2m+1，
∴2m＜2x²-6x+2，
即-1≤x≤3，m＜x²-3x+1，
∴m＜5．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式的求法二次函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立條件的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．