【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)且滿足,求的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)求出,分五種情況討論的范圍,分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)由(1)可知,,不等式化為,令,則,,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,證明當(dāng)時(shí),不等式不成立,當(dāng)時(shí),可證明,適量題意,即.

試題解析:(1)定義域?yàn)?/span>

,

當(dāng)時(shí),恒成立,

當(dāng)時(shí),由,

于是結(jié)合函數(shù)定義域的分析可得:

當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上是增函數(shù);

當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)?/span>,此時(shí)有,

于是上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),

當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)?/span>,

于是上為減函數(shù),在上為增函數(shù),

當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)?/span>,此時(shí)有,

于是上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),

當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)?/span>,

于是上是增函數(shù),在上是增函數(shù).

(2)由(1)知存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),的取值范圍是,

由(1)可知,,

;

不等式化為

,所以,

,

當(dāng)時(shí),,,,所以,不合題意;

當(dāng)時(shí),,,

所以上是減函數(shù),所以,適量題意,即.

綜上,若,此時(shí)正數(shù)的取值范圍是.

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(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(非長軸端點(diǎn)),AF1的延長線與橢圓交于點(diǎn)B,AO的延長線與橢圓交于點(diǎn)C.
①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),求證:直線AB與BC的斜率之積為定值;
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