Question

(本小題滿分12分) 如圖，動點與兩定點、構(gòu)成，且直線的斜率之積為4，設(shè)動點的軌跡為。

（Ⅰ）求軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）4x²-y²-4=0（x≠1且x≠-1）；（2）.

【解析】（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y），當(dāng)x=-1時，直線MA的斜率不存在；當(dāng)x=1時，直線MB的斜率不存在。

于是x≠1且x≠-1.此時，MA的斜率為，MB的斜率為.

由題意，有·=4

化簡可得，4x²-y²-4=0

故動點M的軌跡C的方程為4x²-y²-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分

（2）由消去y，可得3x²-2mx-m²-4=0.  (﹡)

   對于方程(﹡)，其判別式=（-2m)²－4×3（-m²-4）=16m²+48>0

而當(dāng)1或-1為方程（*）的根時，m的值為-1或1.

結(jié)合題設(shè)（m>0）可知，m>0，且m≠1

設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為（X_Q,Y_Q）,(X_R,Y_R),則為方程（*）的兩根.

因為,所以，

所以。

此時        

所以

所以

綜上所述，  …………………………12分

[點評]本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎(chǔ)知識，考察思維能力、運算能力，考察函數(shù)、分類與整合等思想，并考察思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。