如圖，正三棱柱的平面展開圖，各側面都是正方形，在這個正三棱柱中：
①AB1∥BC1；
②AC1與BC是異面直線；
③AB1與BC所成的角的余弦值為
2
4
；
④BC1與A1C垂直．
其中正確的是（　�。�
A、①③B、②③C、②④D、②③④
考點：棱柱的結構特征
專題：空間位置關系與距離
分析：將正三棱柱的平面展開圖還原得到三棱柱的直觀圖，分析AB1與BC1的位置關系，可判斷①；分析AC1與BC的位置關系，可判斷②；求出AB1與BC所成的角的余弦值可判斷③；利用向量法判斷BC1與A1C的關系，可判斷④．
解答： 解：正三棱柱的直觀圖如下圖所示：

由圖可知，AB1與BC1異面，故①錯誤；
AC1與BC是異面直線，故②正確；
AB1與BC所成的角，即為∠AB1C1，在△AB1C1中，AB1=AC1=
2
B1C1，由余弦定理得cos∠AB1C1=
AB
2
1
+
B1C
2
1
-AC
2
1
2AB1•B1C1
=
2
4
，故③正確；
以A為坐標原點，建立如圖所示的空間坐標系，設棱柱的各棱長為a，

則B（a，0，0），C（
a
2
，
3
a
2
，0），A1（0，0，a），C1（
a
2
，
3
a
2
，a），
則
BC1
=（-
a
2
，
3
a
2
，a），
A1C
=（
a
2
，
3
a
2
，-a），
∵
BC1
•
A1C
=-
a2
4
+
3a2
4
-a2≠0，
故BC1與A1C不垂直，故④錯誤，
故正確的命題有：②③
故選：B
點評：本題考查的知識點是棱柱的結構特征，空間線面關系的判定，異面直線的夾角，是立體幾何綜合考查，難度中檔．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=lnx+x-6的零點所在區(qū)間為（　�。�
A、（2，3）
B、（3，4）
C、（4，5）
D、（5，6）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|xex+1|，若函數(shù)y=f2（x）+bf（x）+2恰有四個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�
A、(-∞，-2
2
)
B、（-3，-2）
C、（-∞，-3）
D、(-3，-2
2
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={0，1，2，3}，B={x|x2-x=0}，則集合A∩B=（　　）
A、{0}B、{1，2，3}
C、{0，1}D、{1}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若定義在R上的函數(shù)f（x）=
6
x2+1
+x2，則它能取到的最小值為（　�。�
A、2
B、4
C、2
6
D、2
6
-1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察所得的點數(shù)a，設事件A=“a為3”，B=“a為4”，C=“a為奇數(shù)”，則下列結論正確是（　�。�
A、A與B為互斥事件
B、A與B為對立事件
C、A與C為對立事件
D、A與C為互斥事件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，截面AB1D1與平面ABCD相交于直線l，則點B1到直線l的距離為（　�。�
A、
2
2
B、
3
2
C、
5
2
D、
6
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

cos（-
23π
6
）=（　�。�
A、
3
2
B、
1
2
C、-
3
2
D、-
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖甲正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，先將△ABC沿CD折疊成直二面角A-DC-B（如圖乙），在乙圖中：
（Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅱ）在線段BC上找一點P，使AP⊥DE，并求BP．
（Ⅲ）求三棱錐D-ABC外接球的表面積．（只需用數(shù)字回答，可不寫過程）

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