Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，常數(shù)a＞0
（1）當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值-2，求函數(shù)f（x）的極大值
（2）設定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x₀時，若$\frac{h（x）-g（x）}{{x-{x_0}}}＞0$在D內(nèi)恒成立，則稱點P為h（x）的“類優(yōu)點”，若點（1，f（1））是函數(shù)f（x）的“類優(yōu)點”，
①求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程
②求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值即可；
（2）①求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
②結合題意得到F（x）=f（x）-g（x）=x²-（a+2）x+alnx+a+1，通過討論a的范圍得到函數(shù)的單調(diào)性，進而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意，f（1）=1-（a+2）=-2，得a=1，
此時$f'（x）=2x-3+\frac{1}{x}=\frac{{（{x-1}）（{2x-1}）}}{x}$，（x＞0）…（2分）
令f'（x）=0，得x=1或$x=\frac{1}{2}$…（3分）
當$0＜x＜\frac{1}{2}或x＞1$時，f'（x）＞0； 當$\frac{1}{2}＜x＜1$時，f'（x）＜0
所以f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$與（1，+∞）上單調(diào)遞增，在$（{\frac{1}{2}，1}）$上遞減
所以當$x=\frac{1}{2}$時，f（x）有極大值$-\frac{5}{4}+ln\frac{1}{2}$…（4分）
（2）①∵$f'（x）=2x-（{a+2}）+\frac{a}{x}=\frac{{（{2x-a}）（{x-1}）}}{x}$，（x＞0）
∴f（1）=1-（a+2）=-a-1，f'（1）=0
所以函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為g（x）=-a-1…（6分）
②若點（1，f（1））是函數(shù)f（x）的“類優(yōu)點”，
令F（x）=f（x）-g（x）=x²-（a+2）x+alnx+a+1常數(shù)a＞0，
$則當x∈（{0，1}）∪（{1，+∞}）時，恒有\(zhòng)frac{F（x）}{x-1}＞0$
又F（1）=0，且∵$F'（x）=2x-（{a+2}）+\frac{a}{x}=\frac{{（{2x-a}）（{x-1}）}}{x}$，（x＞0）
令F'（x）=0，得x=1或$x=\frac{a}{2}$，a＞0…（8分）
則當a=2時，∵F'（x）≥0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上遞增
∴當x∈（0，1）時，F(xiàn)（x）＜F（1）=0； 
當x∈（1，+∞）時，F(xiàn)（x）＞F（1）=0
故當x≠1時，恒有$\frac{F（x）}{x-1}＞0$成立…（9分）
當a＞2時，由F'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{a}{2}$，
∴F（x）在$（{1，\frac{a}{2}}）$上遞減，F(xiàn)（x）＜F（1）=0．
所以在，$1＜x＜\frac{a}{2}$，$\frac{F（x）}{x-1}＞0$不成立．…（10分）
當0＜a＜2時，由F'（x）＜0，得$\frac{a}{2}＜x＜1$，
∴F（x）在$（{\frac{a}{2}，1}）$上遞減，F(xiàn)（x）＞F（1）=0．
所以在，$\frac{a}{2}＜x＜1$，$\frac{F（x）}{x-1}＞0$不成立…（11分）
綜上可知，若點（1，f（1））是函數(shù)f（x）的“類優(yōu)點”，則實數(shù)a=2…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，考查新定義的理解，是一道中檔題．