(1)解:由f(g(x)=g(f(x)),得2sinx=sin2x,
化簡得,2sinx(1-cosx)=0,sinx=0或cosx=1,…
解得x=kπ或x=2kπ,k∈Z,
即集合M={x|x=kπ}k∈Z.…
(若學生寫出的答案是集合M={x|x=kπ,k∈Z}的非空子集,扣,以示區(qū)別.)
(2)證明:由題意得,a
x+1=a
x+1(a>0且a≠1)…
變形得,a
x(a-1)=1,由于a>0且a≠1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/444866.png)
,…
因為a
x>0,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/444867.png)
,即a>1.…
(3)解:當-1<x<0,則0<-x<1,由于函數(shù)g(x)在(-1,1)上是偶函數(shù)
則g(x)=g(-x)=log
2(1-x)
所以當-1<x<1時,g(x)=log
2(1+|x|)…
由于f(x)=x+2與函數(shù)g(x)在集合M上“互為H函數(shù)”
所以當x∈M,f(g(x)=g(f(x))恒成立,
g(x)+2=g(x+2)對于任意的x∈(2n-1,2n+1)(n∈N)恒成立,
即g(x+2)-g(x)=2…
所以g[x+2(n-1)+2]-g[x+2(n-1)]=2,
即g(x+2n)-g[x+2(n-1)]=2
所以g(x+2n)=g(x)+2n,
當x∈(2n-1,2n+1)(n∈N)時,x-2n∈(-1,1)g(x-2n)=log
2(1+|x-2n|)…
所以當x∈M時,g(x)=g[(x-2n)+2n]=g(x-2n)+2n=log
2(1+|x-2n|)+2n.…
分析:(1)由f(g(x)=g(f(x)),得2sinx=sin2x,由此能求出集合M.
(2)由題意得,a
x+1=a
x+1(a>0且a≠1),變形得a
x(a-1)=1,由于a>0且a≠1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/444866.png)
,由此能證明a>1.
(3)當-1<x<0,則0<-x<1,由于函數(shù)g(x)在(-1,1)上是偶函數(shù),知g(x)=g(-x)=log
2(1-x),由此能求出函數(shù)m在集合M上的解析式.
點評:本題考查集合的求法,考查不等式的證明,考查函數(shù)的解析式的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.