如圖,底面是正方形的四棱錐P-ABCD,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(Ⅰ)求證:PD⊥BC;
(Ⅱ)求直線PA與平面ABCD所成的角的正弦值.
考點(diǎn):直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)由已知得BC⊥CD,從而BC⊥平面PCD,由此能證明BC⊥PD.
(Ⅱ)取DC中點(diǎn)O,連結(jié)OA,OP,由已知得∠PAO是直線PA與平面ABCD所成的角,由此能求出直線PA與平面ABCD所成的角的正弦值.
解答: (Ⅰ)證明:∵平面PCD⊥平面ABCD,
又平面PCD∩平面ABCD=CD,BC⊥CD,
∴BC⊥平面PCD,
∵PD?平面PCD,∴BC⊥PD.
(Ⅱ)解:取DC中點(diǎn)O,連結(jié)OA,OP,
∵PC=PD=CD=2,
∴PO⊥CD,且PO=
3

∵底面是正方形的四棱錐P-ABCD,平面PCD⊥平面ABCD,
∴PO⊥底面ABCD,AO=
4+1
=
5
,AP=
5+3
=2
2
,
∴∠PAO是直線PA與平面ABCD所成的角,
sin∠PAO=
PO
AP
=
3
2
2
=
6
4
,
∴直線PA與平面ABCD所成的角的正弦值為
6
4
點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線垂直的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若c=
2
,b=
6
,B=120°,則a=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x|x2-4=0},集合B={x|x2-x-6=0},全集U={-2,-1,0,2,3}.求A∪B,A∩B,∁UB與∁UB所有子集.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知=
a
(1,2),
b
=(0,1),
c
=(-2,k),若(
a
+2
b
)⊥
c
,則k=( 。
A、-
1
2
B、-2
C、2
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]時(shí),f(x)=-|x|+1,則當(dāng)x∈(0,6]時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-log3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( 。
A、5B、6C、7D、8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),若定點(diǎn)A(-1,0),則
|PF|
|PA|
的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,平面四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在空間四邊形ABCD的四邊上,且直線EH與FG相交于點(diǎn)P,求證:B、D、P三點(diǎn)共線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖三角形ABC中,AD=DC,AE=2EB,BD與CE相交于點(diǎn)P,若
AP
=x
AB
+y
AC
(x,y∈R)則x+y=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B是拋物線y2=4p上不同的兩點(diǎn),且直線AB的傾斜角為銳角,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),且
FA
=-4
FB
,則直線AB的斜率為( 。
A、
4
3
B、
4
5
C、
3
4
D、
3
5

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同步練習(xí)冊(cè)答案