Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²，若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值，從而確定m的范圍．

解答： 解：∵f′（x）=

2(1-x)(1+x)

x

，
∴當(dāng)x∈[

1

e

，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在[

1

e

，1）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，e）為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極大值，也為最大值，f（1）=-1，
又f（

1

e

）=-2-

1

e2

，f（e）=2-e²，
∴-2-

1

e2

≤-m＜-1，
∴1＜m≤2+

1

e2

．
故答案為：（1，2+

1

e2

]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道中檔題．