已知點P（1，3），圓C：（x-m）2+y2=
9
2
過點A（1，-
3
2
2
），F(xiàn)點為拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，直線PF與圓相切．
（1）求m的值與拋物線的方程；
（2）設點B（2，5），點 Q為拋物線上的一個動點，求
BP
•
BQ
的取值范圍．
分析：（1）點A坐標代入圓C方程解出m=1，再設出直線PF方程，根據(jù)PF與圓C相切利用點到直線的距離公式解出k=±1，討論可得k=1不符合題意，而k=-1時算出
p
2
=4，得拋物線方程為y2=16x；
（2）設Q（x，y），由向量的坐標運算公式，算出
BP
、
BQ
關(guān)于x、y的表達式，結(jié)合拋物線方程化簡得
BP
•
BQ
=-
1
16
y2-2y+12=-
1
16
（y+16）2+28，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到
BP
•
BQ
的取值范圍為（-∞，28]．
解答：解：（1）點A代入圓C方程，得（1-m）2+（-
3
2
2
）2=
9
2
，解之得m=1．
∴圓C方程為：（x-1）2+y2=
9
2
．
①當直線PF的斜率不存在時，不合題意．
②當直線PF的斜率存在時，設為k，則PF：y=k（x-1）+3，即kx-y-k+3=0．
∵直線PF與圓C相切，∴C到PF的距離為
|k-0-k+3|
k2+1
=
3
2
2
，解之得k=1或-1．
當k=1時，直線PF與x軸的交點橫坐標為-2，不合題意舍去；
當k=-1時，直線PF與x軸的交點橫坐標為4，
∴
p
2
=4，可得拋物線方程為y2=16x
（2）∵P（1，3），B（2，5），∴
BP
=(-1，-2)，
設Q（x，y），得
BQ
=(x-2，y-5)
∴
BP
•
BQ
=-（x-2）+（-2）（y-5）=-x-2y+12．
=-
1
16
y2-2y+12=-
1
16
（y+16）2+28
∵y∈R，得y=-16時
BP
•
BQ
的最大值等于28
因此，
BP
•
BQ
的取值范圍為（-∞，28]．
點評：本題給出拋物線的一條焦半徑與圓C相切，求拋物線與圓的方程，著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系和向量數(shù)量積運算等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（-1，3），F(xiàn)為橢圓
x2
16
+
y2
12
=1的右焦點，點Q在橢圓上移動，則|QF|+|PQ|的最小值是
8-
10
8-
10
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（-1，3，-4），且該點在三個坐標平面yoz平面，zox平面，xoy平面上的射影的坐標依次為（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）和（x3，y3，z3），則（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（1，
3
）是曲線f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜
π
2
）的一個最高點，且f（9-x）=f（9+x），曲線區(qū)間（1，9）內(nèi)與x軸有唯一一個交點，求這個函數(shù)的解析式，并作出一個周期的圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知F1、F2分別為橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦點，其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF1|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
（λ≠0且λ≠±1），
求證：點Q總在某條定直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（1，3）為圓x2+y2+x-6y+m=0外一點，則實數(shù)m的取值范圍為
(7，
37
4
)
(7，
37
4
)
．

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