Question

已知平面上一定點(diǎn)C（-1，0）和一定直線l：x=-4．P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，．
（1）問點(diǎn)P在什么曲線上，并求出該曲線方程；
（2）點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在點(diǎn)P的軌跡上，若，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)，，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)整理即可得到點(diǎn)P在什么曲線上，并求出該曲線方程；
（2）直接設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，得到A、B、C三點(diǎn)共線．且λ＞0；再把A的坐標(biāo)用B的坐標(biāo)表示出來；結(jié)合A、B兩點(diǎn)在點(diǎn)P的軌跡上以及橢圓上的點(diǎn)的范圍限制即可求出λ的取值范圍．
解答：解：（1）由，得：，…（2分）
設(shè)P（x，y），則（x+4）²-4[（x+1）²+y²]=0，化簡得：，…（4分）
點(diǎn)P在橢圓上，其方程為．…（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由得：，
所以，A、B、C三點(diǎn)共線．且λ＞0，
得：（x₁+1，y₁）+λ（x₂+1，y₂）=0，即：…（8分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190959952463877/SYS201310241909599524638020_DA/9.png">，所以①…（9分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190959952463877/SYS201310241909599524638020_DA/11.png">，所以②…（10分）
由①-②得：，化簡得：，…（12分）
因?yàn)?2≤x₂≤2，所以．
解得：所以λ的取值范圍為．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線以及平面向量的綜合問題．解決第二問的關(guān)鍵在于由，得到A、B、C三點(diǎn)共線．且λ＞0．