Question

已知平面上一定點C（-1，0）和一直線l：x=-4，P（x，y）為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）點O是坐標(biāo)原點，過點C的直線與點P的軌跡交于A，B兩點，求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由題意可得Q（-4，y），又C（-1，0），結(jié)合(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0即可求得點P的軌跡方程；
（2）設(shè)過點C的直線斜率存在時的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

y=k(x+1) 3x2+4y2=12

可得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，利用韋達定理，

OA

•

OB

可化為：-

5

4

-

33

4(3+4k2)

，從而可求其取值范圍；當(dāng)過點C的直線斜率不存在時可解得A、B兩點的坐標(biāo)從而可補充前者所求的

OA

•

OB

的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），則由已知得Q（-4，y），又C（-1，0），
∴

PQ

=（-4-x，0），

PC

=（-1-x，-y），
∵(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0．
∴（-6-3x，-2y）•（-2+x，2y）=0，
故

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)過點C的直線斜率存在時的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由

y=k(x+1) 3x2+4y2=12

⇒（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
∴x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=-

9k2

3+4k2

，
令u=

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-

5k2+12

3+4k2

=-

5

4

-

33

4(3+4k2)

∵k²≥0，
∴-

11

4

≤-

33

4(3+4k2)

＜0
∴u∈[-4，-

5

4

)
當(dāng)過點C的直線斜率不存在時，其方程為x=-1，解得A(-1，-

3

2

)，B(-1，

3

2

)
此時u=

OA

•

OB

=-

5

4

，
所以

OA

•

OB

的范圍是[-4，-

5

4

]

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查向量在幾何中的應(yīng)用，突出方程思想，轉(zhuǎn)化思想的考查與運用，屬于難題．