Question

某建筑的金屬支架如圖所示，根據(jù)要求AB至少長2.8米，C為AB的中點，B到D的距離比CD的長小0.5m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的價格為每米100元．
（1）設BC=x米，CD=y米，試用x表示y；
（2）問怎樣設計AB，CD的長，可使建造這個支架的成本最低，并求最低成本是多少元？

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）△BCD中，BC=x，CD=y，∠BCD=60°，由余弦定理可得x，y的關系式；
（2）由造價函數(shù)：W=100（2x+y）=100（2x+

x2-0.25

x-1

），不妨設t=x-1，那么t≥0.4，化簡W為t的函數(shù)容易求出結(jié)果．

解答： 解：（1）如圖，由余弦定理得：（y-0.5）²=x²+y²-2xycos60°，
∴y=

x2-0.25

x-1

（其中x≥1.4）；
（2）設支架的造價為：W=100（2x+y）=100（2x+

x2-0.25

x-1

），
設t=x-1，那么t≥0.4，∴W=100（3t+

3

4t

+4）≥700，
當且僅當t=0.5＞0.4，x=1.5，y=4時，這時造價W的值也最小，且有AB=3米，CD=4米．

點評：本題借助三角形的余弦定理建立函數(shù)解析式，考查函數(shù)的最值問題，是中檔題．