Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(-1，-

2

2

)，兩焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為D，且

DF1

•

DF2

=0．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)（A、B不是上下頂點(diǎn)），當(dāng)以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)P（0，1）時(shí)，試問：直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)．求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為D，且

DF1

•

DF2

=0，可得△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c，再利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(-1，-

2

2

)，即可求得橢圓的方程；
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x=m，代入橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，利用以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)P（0，1），可求l的方程；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+b，代入橢圓方程，利用以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)P（0，1），結(jié)合韋達(dá)定理，可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為D，且

DF1

•

DF2

=0
∴△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c
∴a=

2

b
∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(-1，-

2

2

)，
∴

1

2b2

+

1 2

b2

=1
∴b=1
∴a=

2

∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x=m，代入橢圓方程，可得y=±

1- m2 2

∴A（m，

1- m2 2

），B（m，-

1- m2 2

），
∵以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)P（0，1）
∴

PA

•

PB

=0
∴（m，

1- m2 2

-1）•（m，-

1- m2 2

-1）=0，
∴m=0
∴l(xiāng)：x=0；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+b，代入橢圓方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0
△=16k²-8b²+8＞0，∴2k²＞b²-1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2b2-2

1+2k2

∵以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)P（0，1）
∴

PA

•

PB

=0
∴

PA

•

PB

=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0
∴3b²-2b-1=0
∴b=-

1

3

或b=1
當(dāng)b=1時(shí)，不符合題意；
當(dāng)b=-

1

3

時(shí)，直線l恒過定點(diǎn)（0，-

1

3

）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．