Question

【題目】已知雙曲線和橢圓有公共的焦點(diǎn)，且離心率為．

（Ⅰ）求雙曲線的方程．

（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)作直線交雙曲線于， 兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】試題分析：

（I）設(shè)雙曲線方程為，由題意得，結(jié)合，可得，故可得， ，從而可得雙曲線方程。（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消元后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得可得直線方程。

試題解析：

（I）由題意得橢圓的焦點(diǎn)為， ，

設(shè)雙曲線方程為，

則，

∵

∴，

∴ ，

解得，

∴ ，

∴ 雙曲線方程為．

（II）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即。

由消去x整理得

，

∵直線與雙曲線交于， 兩點(diǎn)，

∴，

解得。

設(shè)， ,

則，

又為的中點(diǎn)

∴ ，

解得．滿足條件。

∴ 直線，即.