下列命題正確的是
 

①動點M至兩定點A、B的距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ≠1).則動點M的軌跡是圓.
②橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
2
2
,則b=c(c
為半焦距).
③雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的焦點到漸近線的距離為b.
④知拋物線y2=2px上兩點A(x1,y1),B(x2,y2)且OA⊥OB(O為原點),則y1y2=-p2
A.②③④B.①④C.①②③D.①③
考點:雙曲線的簡單性質(zhì),命題的真假判斷與應(yīng)用
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯
分析:①設(shè)動點M(x,y),兩定點A(-c,0),B(c,0),(λ>0且λ≠1,c>0),則
|MA|
|MB|
=
(x+c)2+y2
(x-c)2+y2
=λ,化簡即可得出;
②利用橢圓的離心率e=
2
2
=
c
a
,及a2=b2+c2,即可解出.
③取焦點F2(c,0),漸近線y=
b
a
x
,利用點到直線的距離公式可得焦點到漸近線的距離.
④設(shè)直線AB的方程:x=my+n,與拋物線的方程聯(lián)立可得y2-2pmy-2pn=0,得到根與系數(shù)的關(guān)系,再利用OA⊥OB?x1x2+y1y2=0,化簡即可得出.
解答: 解:①設(shè)動點M(x,y),兩定點A(-c,0),B(c,0),(λ>0且λ≠1,c>0).
|MA|
|MB|
=
(x+c)2+y2
(x-c)2+y2
=λ,化為[x-
(λ2+1)c
λ2-1
]2+y2=(
2λc
λ2-1
)2
,因此點M的軌跡是以(
λ2+1
λ2-1
c,0)
為圓心,
2λc
|λ2-1|
為半徑的圓.
②∵橢圓的離心率e=
2
2
=
c
a
,∴a2=2c2,又a2=b2+c2,∴b2=c2,解得b=c.
③取焦點F2(c,0),漸近線y=
b
a
x
,則焦點到漸近線的距離=
|bc|
b2+a2
=
bc
c
=b
,正確.
④設(shè)直線AB的方程:x=my+n,聯(lián)立
x=my+n
y2=2px
,化為y2-2pmy-2pn=0,
∴y1y2=-2pn,y1+y2=2pm.
∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,
∵x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2
(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0,
∴-2pn(m2+1)+2pm2n+n2=0,
化為n=2p.
y1y2=-2p•2p=-4p2.因此不正確.
綜上:只有①②③正確.
故選:C.
點評:本題考查了圓錐曲線的定義及其性質(zhì),屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0,有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)判斷函數(shù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)還是減函數(shù),并用定義證明你的結(jié)論.
(2)解不等式f(x+
1
2
)>f(2x-
1
2
)

(3)若f(x)≤m2-2am+1對所有x∈[-1,1]、a∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點M到點F(1,0)和直線x=-1的距離相等,記點M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)過點F作相互垂直的兩條直線l1、l2,曲線C與l1交于點P1、P2,與l2交于點Q1、Q2,試證明:
1
|P1P2|
+
1
|Q1Q2|
=
1
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

①一個命題的逆命題為真,它的否命題也一定為真;
②在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三個角成等差數(shù)列”的充要條件.
x>1
y>2
x+y>3
xy>2
的充要條件;
④“am2<bm2”是“a<b”的充分必要條件.
以上說法中,判斷正確的有
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知P為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一點,F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點,B為橢圓右頂點,若∠PF1F2平分線與∠PF2B的平分線交于點Q(6,6),則SF1BQ+SF2BQ=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是矩形,俯視圖是一個的圓,尺寸如圖,那么這個幾何體的側(cè)面積為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)m<x1<x2<4m,則
x1+x2
2
的取值范圍是
 
x1-x2
2
的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l1:(m+1)x+y=2和l2:y=-x+1,若l1∥l2,則m的值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
的左、右焦點為F1,F(xiàn)2,上頂點為A,點P為第一象限內(nèi)橢圓上的一點,若點A到PF1的距離是點F2到PF1距離的2倍,則直線PF1的斜率為(  )
A、
3
3
B、
5
3
C、
3
5
D、
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案